Погрешности измерений и их классификация
Все измерения сопровождаются погрешностями. Различают грубые, систематические и случайные погрешности.
Грубые погрешности измерений, к которым относятся просчеты, при повторных измерениях обнаруживаются и их из результатов измерений исключают.
Систематические погрешности измерений действуют на результаты измерения по определенному закону, изменяя результат на одну и ту же величину. Для того чтобы выявить, а затем исключить или учесть систематическую погрешность необходимо сделать исследование и юстировку инструментов.
Случайные погрешности измерений неизбежны в процессе измерений и не могут быть исключены из результатов измерений.
Изучение свойств этих ошибок позволяет разработать методы для оценки точности результатов измерений и определить вероятнейшие значения измеренных величин. Решением этих вопросов занимается теория ошибок геодезических измерений, в основу которой положены основные свойства случайных ошибок.
Свойства случайных погрешностей
1. Для данных условий измерений погрешности не могут превышать по абсолютной величине известного предела.
2. Малые по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие.
3. Одинаковые по абсолютной величине и разные по знакам погрешности возможны одинаково.
4. Среднее арифметическое из случайных погрешностей измерений величины стремиться к нулю при неограниченном числе измерений.
Последнее свойство вытекает из предыдущих. Действительно, взяв ряд измерений l1, l2, , , , ln одной и той же величины Х получим случайные погрешности ?1, ?2, , , , , , ?n, где l1 – Х = ?1, l2 – Х = ?2, ………….. ………….. ln – Х = ?n.
Положительные ошибки в сумме компенсируются отрицательными, вследствие чего среднее арифметическое из случайных погрешностей будет стремиться к нулю lim (?1 + ?2 + … + ?n)n = lim ([?1]/n)=0
n ? ? n ? ?
Примечание: в обозначении Гаусса ?? = [?]
Принцип арифметической средины.
Среднее арифметическое или арифметическая средина равноточных измерений одной и той же величины стремится к истинному значению при неограниченном возрастании числа измерений.
Пусть l1; l2; … ln – результаты равноточных измерений, истинное значение которых Х. Тогда истинные погрешности получаем как разности:
l1 – Х = ?1,
l2 – Х = ?2,
…………..
…………..
ln – Х = ?n.
[l] – nХ = [?],
где Х= [l]/n – [?]/n;
На основании четвертого свойства случайных погрешностей при увеличении числа измерений [?]/n стремиться к нулю. Таким образом, среднее арифметическое Х0= [l]/n стремиться к истинному значению измеряемой величины Х.
Средняя квадратическая погрешность. Предельная и относительная погрешность.
Среднее арифметическое из случайных погрешностей не может объективно характеризовать точность измерений, так как на его величину оказывают влияние знаки случайных ошибок (происходит компенсация) и кроме того она не отражает влияние отдельных больших по абсолютной величине ошибок. Поэтому для оценки точности ряда равноточных измерений l1; l2; … ln одной и той же величины Х, сопровождающейся случайными погрешностями ?1, ?2, , , , , , ?n, пользуется средней квадратичной ошибкой m, равной:
Пример: дан ряд случайных ошибок измерений некоторой величины: +4, – 2, 0, -4, +3.
Предельной погрешностью называют такое наибольшее по абсолютной величине значение случайной ошибки, которой она может достигнуть при данных условиях измерений. Установлено, что случайная ошибка может достигатьудвоенной средней квадратической ошибки в пяти случаях из ста, утроенной – в трех из тысячи. Поэтому за предельную ?пр. принимают утроенную среднюю квадратическую ошибку ?пр. = 3m.
Относительной ошибкой называют отношение абсолютной ошибки к измеренной величине. Она выражается простой дробью, числитель которой равен единице. Обычно относительной ошибкой характеризуют линейные измерения. Например, измерена линия длиной l=221,16 с абсолютной ошибкой ?=0,11м.
Средняя квадратическая погрешность арифметической средины.
Арифметическая средина является наиболее надежным результатом из многократных измерений. Ее точность характеризуется ошибкой, величина которой должна быть меньше заданной величины, чем количество измерений. Средняя квадратическая погрешность арифметической средины определяется по формуле:
Оценка точности по вероятнейшей погрешности.
В большинстве случаев истинное значение измеряемой величины не известно, поэтому для вычисления средней квадратической ошибки используют отклонения результатов измерений от их среднего арифметического. Эти отклонения называют вероятнейшими погрешностями. Для вычисления средней квадратической погрешности по вероятнейшим вычисляют разности между каждым результатом измерения и арифметической срединой Х0, эти разности возводят в квадрат и получают среднюю квадратическую погрешность по формуле Бесселя:
l1 – Х0 = V1…V12
l2 – Х0 =V2…V2 2
…………..
…………..
ln – Хn =Vn…Vn 2
[l] – nХ0 = [V], Суммарное уравнение,
Откуда [l] /n -Х0 = [V] /n т.к. [l] /n = Х0, то [V] /n = 0;
Но n ? 0, следовательно [V] = 0.
Среднюю квадратическую погрешность арифметической средины по вероятнейшим ошибкам определяют по формуле:
Среднюю квадратичную ошибку результата по разностям двойных измерений вычисляют по формуле:
Неравноточные измерения.
Измерения могут быть равноточные и неравноточные. Неравноточные измерения-это измерения одной и той же величины, которые выполняют разными приборами или исполнителями. По разным технологиям или в различных условиях. Неравноточные измерения имеют разный вес, тогда как равноточные измерения имеют одинаковый вес, т.е.степень доверия к результату. Весом Р называют отношение целого числа С к квадрату средней квадратической погрешности Р = С/m2.
Из полученных неравноточных измерений, зная их вес, получают общую арифметическую средину или весовое среднее L0 по формуле:
где l1, l2 , … ln являются средними арифметическими из рядов равноточных измерений.
Пример 1. Линия измерена два раза и получили первый раз среднее арифметическое l1 = 212,45 с весом Р = 2.
Вторично эту же линию измеряли четыре раза и нашли среднее арифметическое l2 = 212,38 с весом Р = 4, тогда
Погрешности измерений и их классификация – статья на сайте “студент-строитель.ру”